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罗素公理体系

发布时间:2019-07-03 22:27 来源:未知 编辑:admin

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  罗素公理体系--即有符合条件的书的确构成了一个集合,因为它们可以与其它的书进一步构成更大的整体(集合的定义)--比如它们和不符合条件的书共同构成了图书馆里所有的书(类)。罗素公理体系的提出,是保证不产生悖论。

  可以说,罗素公理体系在两方面避免罗素悖论:第一,不存在包含自身的集合(包含自身的类是真类)。第二,“所有”集合的总体不是集合!而是一个真类。因为“所有”一词,包含了自身。

  在类的公理体系中,有一些基本的概念是不加定义的,我们只能从其客观含义上给予解释,但这样的解释仅仅起到帮助理解这些概念。

  )。我们可以把类理解成为是由若干元素组成的一个整体。一个类是否是另一个类的元素是完全确定的,这就是类元素的

  ,我们常以P(x)表示类x具有性质P。我们可以把性质理解为“关于类的一句表述”。

  公理Ⅰ的含义是:两个类“相等”的充要条件是它们的元素完全相同,这就是说,类完全由其元素确定。类的所有元素可以通俗地称为它的

  由外延公理我们可以得出:类中的元素是不会重复出现的(准确地说,重复出现的元素仍然被当作一个元素),这就是类元素的

  一个类可能由若干元素组成,而它本身又可能成为另外的类的元素,这就是类元素的

  一个类的所有元素所共同具有的、而且是这个类的元素所独有的性质(也就是说不是该类的元素就不具有该性质)通俗地称为该类的

  。类的内涵与外延之间存在着直观的“反比关系”:类的内涵越多,其外延越小;内涵越少,其外延越大。

  对于类的内涵问题,我们通常希望:任给一个性质,满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致如下的悖论:

  某理发师发誓“要给所有不自己理发的人理发,不给所有自己理发的人理发”,现当前的问题是“谁为该理发师理发?”。首先,若理发师给自己理发,那他就是一个“自己理发的人”,依其誓言“他不给自己理发”;其次,若“他不给自己理发”,依其誓言,他就必须“给自己理发”。

  定义1.2说明,一个集合是类的一种,它可以成为其它类的一个元素,这也正是集合的严格定义。

  有另一种集合的定义:已存在一个类B,其中凡是符合属性P(x)的,可以构成一个类A。类A则是一个集合,或者说是B的一个子类。但对此种定义,人们可以提出质疑,不能保证A不是真类。但人们还是乐于接受该定义的。但定义说不上严格。

  不是集合的类就是真类。真类是一种能以自身作为元素的类,对于真类,类运算并不一定都能进行。

  一个真类却不能成为其它类的元素。因此我们可以理解为“本性类是最高层次的类”。

  但是,“类和集合是非常一般的概念,什么是集合的问题是不能彻底回答的。只有随着数学实践来确定哪些类是集合,哪些类是真类,任何时间,总有一些类无法确定其到底是不是集合。”

  ”。这并不导致悖论,只是说明:A不是集合;因此A是本性类,我们把这个类称为

  在两方面避免罗素悖论:第一,不存在包含自身的集合(包含自身的类是真类)。第二,“所有”集合的总体不是集合!而是一个真类。因为“所有”一词,包含了自身。

  以书目悖论为例,根据罗素公理体系,问题“这本书要记下自己的书名吗?”,即是,它包含自己吗?已经没有回答的意义。因为根据内涵定义,不存在包含真类的集合。所以实物上不存在里面提到的那一本目录书(也有人认为那是一个非法的集合,一个集合要包含自身,但又要和集合内其它元素相区别,是不可能的)。但注意,这一抽象概念却是存在的,它是一个真类。

  在理发师悖论里,理发师其实划出了一个真类。如果理发师修改一下自己的说法:“除了我理发师本人之外,我给所有不给自己理发的人理发”,悖论就被避免了。因为理发师此时定义了一个集合(根据声明,他不在自己定义的服务群里)。

  注意:罗素公理体系只是“避免”了罗素悖论,并没有解决罗素悖论。罗素公理体系的提出,是保证不产生悖论,又要求这些公理的范围足够宽,能容纳全部数学。就是说要给数学提供足够的集合。

  朱梧槚, 肖奚安. 数学基础与模糊数学基础[J]. 自然杂志, 1984(10):5-8+82.

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